黄金分割点比例（为什么黄金分割数是0.618？）

今天，大家都知道，是电商网站某东的购物节。这原本是一个店庆的活动，用来对抗淘宝天猫双十一活动的。

但6月18日其实更适合作为一个数学节日来庆祝，可以与3月14日的圆周率日遥相呼应。

为什么这么说呢？因为它还有一个更加艺术的名字：黄金分割日618，为了纪念黄金分割（比例）

这个比例被人们熟知于艺术领域。如：达芬奇的著名油画《蒙娜丽莎的微笑》中人物的脸型接近于黄金矩形，即头宽和肩宽的比接近于黄金比例。再如：断臂维纳斯雕像是举世公认的女性人体美的典范，她的上下半身比例接近于黄金比例，其分界点正位于肚脐。

但是鲜有人知道，它来源于数学，本质来说，源于大自然。

这个本质就要从一个数列说起。斐波那契（Fibonacci）数列，也叫“黄金分割数列”。由意大利数学家斐波那契 Fibonacci 于1202年以兔子繁殖为例子而引入，故也叫“兔子数列”。

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

我们从最简单的情况开始推算，从中找出规律和递推关系。

满一个月时：只有一对刚满月的兔子

满两个月时：只有一对能生育的兔子

满三个月时：有一对能生育的兔子和一对刚满月的兔子

满四个月时：有两对能生育的兔子和一对刚满月的兔子

满五个月时：有三对能生育的兔子和两对刚满月的兔子

满六个月时：有五对能生育的兔子和三对刚满月的兔子

以此类推，可以把推算的结果列成下表。

可以看出能生育的兔子对数（从2月开始）、刚满月的兔子对数（从3月开始）和兔子的总对数（从1月开始）都构成了一个数列：1，1，2，3，5，8，13......

会发现之后的比值都是0.618，这就是斐波那契数列也叫黄金分割数列的原因。

在自然界中，除了兔子繁殖，其实所有动物的繁殖都是遵从斐波那契数列式增长，那为什么是兔子最先被注意到？

答案很简单，兔子的繁殖能力在哺乳动物中是最强的。

斐波那契数列是理想的繁殖模型，它要求高生育和无死亡，很多动物做不到这点，所以不明显。而兔子满两个月就具备生育能力，全年均可生育，生育的全周期仅为一个月，每窝一般5-10只（存活一对以上有保障），平均寿命在六年以上，很好的符合了要求，所以最先被注意到。

除了动物繁殖遵从斐波那契数列式增长，植物也不例外。

树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。这就跟兔子需要成熟期一样，所以在没有枝条“枯萎”的情况下，树木的枝条也遵从斐波那契数列式增长。这个规律也被称为“鲁德维格定律”。

同理还有花瓣。

只要观察就可以发现，自然界大多数花瓣都是斐波那契数（斐波那契数列中的数）：白掌（1 个花瓣），海棠（2个花瓣），铁兰、三角梅、紫竹梅（3个花瓣），毛莨、飞燕草、金露梅（5个花瓣），秋英（8个花瓣），瓜叶菊、万寿菊（ 13个花瓣），紫宛（21个花瓣），雏菊（34、55或89个花瓣）。

这又是为什么呢？

因为花瓣其实不是一起长出来的！

花瓣其实是一批一批生长的。后一片花瓣与前一片花瓣间隔，正好是圆周的黄金分割角度（360°*0.618≈222°），在这种情况下，花瓣的分布能最大限度地利用空间，从而获得水分和阳光。

在数学中，斐波那契数列的适用范围极广。当递推关系只涉及到前一步和前两步，且就是这两种情况的和，那么就满足了斐波那契数列的递推关系。如果第一步和第二步恰好是斐波那契数列中连续的项，则可以直接套用斐波那契数列模型。

我们举一些简单的例子来说明斐波那契数列是如何解决实际数学问题的。

1、楼梯问题

一个楼梯有n级台阶，每次只能向上走1级或者2级，则有多少种上楼方法？（类似的问题还有青蛙踩荷叶过河等）

2、蜜蜂回家

一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，则它有多少种回家的方法？

所到达的每个蜂房只可能从正左或者左下过来，且就是这两种情况的和，所以这个问题也能用斐波那契数列来解决。

3、长方形纸片

4、硬币

前面我们提到数列连续两项中的前一项和后一项的比值是逐渐靠近黄金比例0.618的，这是为什么呢？

这就要说到斐波那契数列的通项公式。

随着n的增大，这个比值会越精确，当n无穷大时，这个比就是黄金比例。这就是“黄金分割数列”的由来。

黄金比例同时也是将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值。

这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为“黄金”比例，通常用希腊字母Φ表示。

那么为什么这个比例能引起美感呢？目前有两种说法比较令人信服。

说法一：

人双眼的水平视角极限为230°，垂直视角极限为150°，150/230≈0.652 ，与黄金比例接近。

左右、上下比例关系，黄金比例能对人的视觉产生适度的刺激，符合人的视觉习惯，事物的整体与局部、局部与局部之间的数量关系比例适宜，在人的审美心理上产生一种适宜通融之美。

说法二：

人体构成，以肚脐为分界点，上半身与下半身的比值，与黄金比例接近。

（甚至还有更进一步的说法：DNA螺旋之间的宽度和周长比例约为0.618）

所以，在欣赏艺术时，人们会不由自主地把艺术品（这里包括绘画、雕塑、建筑等所有艺术成果）与自己的身体做暗比，而那些符合比例的，由于这种比例的一致性，会让人产生亲近熟悉的美感。

还有一些有关“黄金比例”的奇怪知识，你可能不知道。

除了以上这些例子，其实生活中处处隐藏着黄金比例，那么大家注意到哪些有趣的“巧合”呢？欢迎告诉我们。

当然黄金分割的应用不仅仅在数学、艺术、自然中，在物理、文学等多个学科领域均有着重要地位，正等着同学们去发现。