庞加莱猜想(原来我们如此有幸看到“庞加莱猜想”的证明)

总有人羡慕这个世界上有那么多通才，所谓天文地理，经史子集无一不通。在古代那些个科技文明不算发达的年代，人们的科学储备普遍不足，各个领域的积淀都不深厚，所以但凡有精力，并将自己的全部精力放进某个领域研究的先人们，很容易在不同的领域都建立起非凡的成果来的。古代的希腊，中世纪的欧洲，这样的天才比比皆是，最著名的应该是达芬奇了吧，我们所知道的是他作为画家的奇闻轶事，其实他也是一个数学家，建筑学家，医生，生物学家，武器专家，哲学家，物理学家……中国也有不少，比如宋代时候的沈括，也就是写《梦溪笔谈》的那位大科学家，他精通数学，物理，化学，天文，同时也是一位著名的政治家，也曾做过外交使臣，戍边大将。毫无疑问，他是一位百科全书式的天才。

达芬奇

沈括

然而到了近代，便很少有人再被赋予这样的名头了，原因在于，近代科学突飞猛进，深度不可同日而语。任何一个领域要有所建树，都必须全力以赴地将自己投入进去，取得劳动成果再也不像远古时代那样轻而易举，更有甚者，有些人匆忙一生也鲜见有所得。虽然少，但是仍然有一位百科全书式的通才诞生，他就是亨利·庞加莱。也被誉为历史上最后一位通才。他是法国数学家，物理学家，天文学家，天体力学家，哲学家。他也险些赶在爱因斯坦前面发表狭义相对论。

亨利·庞加莱

我们这里说的庞加莱最著名的一个猜想，庞加莱猜想。说是猜想其实已经被证明，应该算是庞加莱定理了。庞加莱猜想在1904年被提出，这是拓扑学一个最基础重大的猜想。这个猜想的表述极为简单：

“如果一个空间的所有封闭曲线都可以收缩为一个点，那么这个空间必定是一个三维圆球。”

就是这么一句轻描淡写的话，让整个数学界奋斗了百年不止。我们可能没有办法去理解这句简单的陈述背后到底蕴含着多少精妙的数学规律，但是它的重要性不言而喻。

这个猜想被誉为是人类在三维空间研究角度解决的第一个难题，也是一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识，对物理学和工程学都将产生深远的影响，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。

莱茵瓶 拓扑学经典道具

这个猜想是如此之难，导致在提出几十年之内，毫无进展，连庞加莱本人也数次撤回了他以为正确的证明。直到1960年，在人们无数次尝试汇中均未获得成功之后，人们开始考虑假如不止在三维世界呢，更高维度的情况下，猜想是否容易证明？

于是很快就有人做了这样的工作，美国数学家斯梅尔率先证明了，在五维或者更高维之下，庞加莱猜想成立，此成果一经发布并证实之后，立时在世界引起轰动，于是1966年数学界最高奖菲尔兹奖授予斯梅尔先生。1983年，美国人弗里德曼和英国人唐纳森再接再厉，深化了斯梅尔的结论，证明了在四维情况的庞加莱猜想也成立，不出意外，当年的菲尔兹奖又是授予了庞加莱猜想相关研究的数学家们。但人们在希望更进一步，一举证明三维的庞加莱猜想时，彻底陷入死局，用之前的方法理论再也没有有效的结果，因此必须创建新理论，才有可能彻底攻克这个大难题。

很快，有人发现了1970年代，意大利拓扑学家里奇命名了一个专有方程Ricci流，这个有力的工具可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形，在使用Ricci流进行空间变换时，到后来，总会出现无法控制走向的点。这些点，叫做奇点。如何掌握它们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。于是世界上许多为了庞加莱猜想绞尽脑汁的数学家们，心里激动起来，庞加莱猜想在有生之年被解决的希望越来越大。

2000年5月24日，美国克雷数学研究所的科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个“千禧年大奖难题”之一。另外六个分别是：P对NP问题， 霍奇猜想， 黎曼假设，杨－米尔斯理论存在性与质量缺口，纳维-斯托克斯方程存在性与光滑性，BSD猜想。

这七道问题被研究所认为是“重要的经典问题，经许多年仍未解决。”克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个问题的解决都可获得百万美元的奖励。时至今日，也仅有庞加莱猜想被完全攻破，另外六大世界难题，目前还没有任何被彻底破解的可能性。

完全意料之外，2002年，有个署名为佩雷尔曼的俄罗斯数学家在网站上发布一篇34页的关于证明庞加莱的论文立即引起轩然大波，人们急切想论证这样的论文的正确与否，然而针对于如此重大的一个猜想来说，34页的内容实在太简略了，完全不能打消人们的疑虑，于是人们不断要求作者给出进一步细节的过程，佩雷尔曼妥协了，并且将这样的过程进行了2次，也就是在发表了3篇文章之后，便再也不做同样的妥协了。与此同时，他也将自己的论文原稿发给了世界最顶级的拓扑学家，请他们审核检查，这样的一步是最明智的做法，也许可以再补充证明里缺失的细节。半年之后，这几位最顶级的数学家们一致认为，佩雷尔曼的结论是对的，只不过还有些许瑕疵需要补充。但是这些都已经属于边边角角，佩雷尔曼先生不屑于做这些的下脚料的活了，在他的思路彻底被数学界明白之后，最终有人完全弥补了这些小缺憾。终于在2006年，这一百年重大猜想正式升级为定理。

这里，如果不重点介绍一下佩雷尔曼这位超级大神，那这篇文章就要失去大半色彩了。

格里戈里·佩雷尔曼 与 庞加莱猜想

格里戈里·佩雷尔曼， 1966年6月13日出生，犹太人，俄罗斯数学家。这位先生跟所有的数学天才一样，从小就展示出了无与伦比的数学家气质，6岁便拥有着远超同龄人的计算水平了。1982年，佩先生进入圣彼得堡第239中学学习，然而仅仅3个月之后，16岁的他便代表苏联参加IMO（国际数学奥林匹克竞赛），并一举拿下满分42分的金牌。很快，一所美国的大学便向他抛出橄榄枝，承诺丰厚的奖学金，这时，佩先生隐士高人的风范就开始展现，他毫不犹豫地拒绝了。中学毕业后，佩雷尔曼免试进入圣彼得堡大学数学系学习，并选择了当时数学界最艰深的分支之一——微分几何学。接下来的求学之路应该算得上是按部就班了。1987年，佩雷尔曼考取了苏联科学院斯杰克洛夫数学研究所的研究生，并于1989年获得博士学位。

IMO会徽

1993年，佩先生访美，在访美期间，佩先生解决了第一个重大的数学问题“灵魂猜想”。美国人再也不希望漏掉这位显露头角的天才，加州大学伯克利分校、斯坦福大学、麻省理工学院、普林斯顿大学等一批著名学府高薪聘请他任教，但是一如既往都被谢绝了。佩先生最终回到了研究生时代的研究所工作。佩先生对于数学的态度非常纯粹，只想一心一意扑在钟爱的事业上，他特别鄙视那些浪费国家经费却不出多少成绩的数学南郭先生们，这一特点，也让他最后还是离开了这里。由于他在数学上的成就，欧洲数学会于1996年给他颁发“杰出数学家奖”，毫无疑问，他没去领，原因真的不祥。。

2003年 佩雷尔曼美国访问

进入到新世纪，尤其是在他苦思庞加莱猜想十年之久，他的证明被数学界承认之后，各种赞誉，采访蜂拥而至，一时间，他成了俄罗斯乃至整个欧洲数学界最有名的数学家。然而，佩先生对名利毫无兴趣，只在乎是否在做自己喜欢的事情，在接受了没几次的采访，便已经彻底厌倦，一度玩起了消失。后来来自世界各地的记者们都只是从身边的朋友那里知道，佩先生大概是个生活单调枯燥并且没有追求的人，食物永远只吃黑面包，牛奶，散步永远只去林间小路。毫无疑问这样的生活对于他这样一位不出世的天才来说真是太不匹配了。

2006年8月在西班牙马德里召开的国际数学大会上，国际数学联合会（IMU）决定将有“数学诺贝尔奖”之称的菲尔茨奖授予佩雷尔曼。然而，面对这巨大的荣誉他却选择了拒绝。他也拒领“千禧年数学大奖”，也拒绝了100万美元的巨奖，这个巨奖足以让他和他的母亲可以舒适生活下去一辈子。

顺便说一句，佩先生这辈子最真心实意接过的奖项就只有那枚16岁获得的IMO金牌了。

我们非常荣幸地见证了“庞加莱猜想”的解决过程，前后经历百年，百年来，无数数学家竭尽脑汁来证明，直到佩雷尔曼横空出世。在此期间，人们深刻地发展了拓扑学这一20世纪以来发展最迅猛重要的一个数学分支。一个厉害的数学家不仅仅在于他有可以攻克一切难题的毅力和能力，更在于他能够为这个世界创造什么，庞加莱猜想仅仅是亨利·庞加莱提出的众多猜想中的一个。

我们希望这些深刻的猜想和重大难题可以给我们的科学研究指明目标，让更多的人投身到这样的事业中来。