悖论是什么意思（究竟什么是悖论？）

“悖论”是英语词paradox的中译，从字面上说，悖论是指违反常识的或荒谬的理论，或自相矛盾的语句或命题。最早的悖论可追溯到公元前6世纪古希腊克里特岛人埃匹门尼德，他提出了著名的说谎者悖论：“所有的克里特岛人都说谎。”他究竟说了一句真话还是假话？如果他说的是真话，由于他也是克里特岛人之一，他也说谎，因此他说的是假话；如果他说的是假话，则有的克里特岛人不说谎，他也可能是这些不说谎的克里特岛人之一，因此他说的可能是真话。此后对悖论的研究一直绵延不绝，并经历了至少两个高峰时期，一是欧洲中世纪经院逻辑对悖论的研究，另一个是从19世纪末一直延续到今天的悖论研究。后一时期先主要从数学、逻辑学角度研究悖论，后来则更多地从哲学和语义学的角度去研究悖论。在长达几千年的研究过程中，“悖论”已成为一个庞大的家族，其中混杂着五花八门的成员，各种冠以“悖论”的语句或推论差异极大。因此，我们有必要先厘清“悖论”的精确涵义，然后对其家族成员进行甄别，在此基础上展开对悖论的讨论。

在目前的用法中，“悖论”一词至少有以下四种涵义：

第一，违反常识，有悖直观，似非而是的真命题。例如，在数学史上曾喧嚣一时的所谓“无穷小悖论”就是如此：微积分中的无穷小似零（作为加项可以略去），但又非零（可以作为分母），（表面上）自相矛盾。于是，当时的英国大主教、著名哲学家贝克莱说它像一个飘动不居的鬼魂。所谓的“伽利略悖论”也与此类似：对于任一平方数，有且只有一个自然数与之一一对应，即作为整体一部分的平方数竟与作为整体的自然数一样多。这与当时已知的数学知识相悖。在逻辑中，有为数众多的所谓“蕴涵悖论”，例如著名的“实质蕴涵悖论”：真命题被任一命题所蕴涵；假命题蕴涵任一命题；以及本书前面讨论过的各种“道义悖论”。这些“悖论”都是相应的逻辑系统中的定理，这些系统也是可靠的或者一致的，内部没有任何矛盾。这些定理之“悖”在于它们有“悖”于关于相应概念的常识、直观、经验等，因此，它们最多只能被叫做“直观悖论”，不属于严格意义的“悖论”之列。

第二，与公认的看法或观点相矛盾的命题或原则，似是而非，但其中潜藏着深刻的思想或哲理。最典型的是古希腊哲学家芝诺提出的四个“芝诺悖论”，即“二分法”、“阿基里斯追不上龟”、“飞矢不动”、“一倍的时间等于一半”。这里仅以他的“二分法”为例：假定某个物体向一个目的地运动，在它达到该目的地之前必须走完这路程的一半，而要走完这路程的一半，又要走完这一半的一半；要走完这一半的一半，则要先走完这一半的一半的一半，如此递推，以至无穷。因此，第一次运动所要达到的目标是没有的，但没有第一次运动的目标就不可能开始运动，因此就没有运动，因此运动是不可能的。这里，芝诺的论证并不是在描述或否认运动的现象和结果，而是要说明运动是如何可能的，我们应该如何在理智中、在思维中、在理论中去刻画、把握、理解运动！当然，芝诺的结论是不成立的。与此类似的是康德关于时间和空间的四个“二律背反”，仅举一例：正题：“世界在时间上有开端，在空间上有界限”；反题：“世界并无开端，也无空间的界限。就时空而言，它是无限的。”康德以触目惊心的形式揭示了世界本身就存在的矛盾。芝诺和康德的论证中都隐含着深刻的思想。再如中国古代的名辩学家，曾提出了诸如“白马非马”、“鸡三足”、“卵有毛”这样一些表述形式怪诞的命题，其中有些命题甚至隐含着集合论思想的萌芽。

第三，从一组看似合理的前提出发，通过有效的逻辑推导，得出了一对自相矛盾的命题，这时我们称导出了悖论。例如中国古代曾有人主张“言尽悖”，《墨子》反驳说：“以言为尽悖，悖，说在其言。”（《经下》）“之人之言可，是不悖，则是有可也；之人之言不可，以当，必不当。”（《经说下》）其意思是：“一切言论都是虚假的”这句话必然导致自相矛盾，用印度因明的话来说，就是“自语相违”。伽利略从亚里士多德的“物体的下落速度与物体的重量成正比”这一命题出发，也导出了一对矛盾：假设亚氏的理论是正确的，我们设想有两个物体A和B，其中A重B轻。按照亚氏理论，则A下落得快B下落得慢。现在我们设想把A和B绑在一起成为A＋B。显然，A＋B比A重，按亚氏理论，则A＋B下落得比A快；但A＋B是由A和B合成的，按当时已确证的另一理论，两物的合成速度不会等于或高于其中单独一物的速度，因此A＋B下落应比A慢。而这两个结论是矛盾的，伽利略由此提出“物体的下落速度与物体的质量没有关系”的新理论，据说还进行了一次著名的比萨斜塔实验以验证他的推断。本章后面要谈到的许多悖论，都是此种意义上的，例如布拉里—弗蒂悖论、康托尔悖论、里查德悖论，等等。

第四，悖论是指从一组看似合理的前提出发，通过正确有效的逻辑推导，得出了一个由互相矛盾的命题构成的等价式：p↔﹁p。这种悖论最典型的是“强化的说谎者悖论”和“罗素悖论”。前者是指这样一种情形：一个人说了唯一一句话：“我正在说的这句话是假的。”请问这句话究竟是真的还是假的？如果这句话是真的，则它说的是真实的情形，而它说它本身是假的，因此它是假的；如果这句话是假的，则它说的不是真实的情形，而它说它本身是假的，因此它本身不是假的，而是真的。于是，这句话是真的当且仅当这句话是假的，这就是悖论。这样的悖论还有“鳄鱼悖论”、“理发师悖论”，等等。

国内学界对“悖论”的定义通常只取第四种意义。例如，《中国大百科全书·哲学》中这样定义“悖论”：“指由肯定它真，就推出它假，由肯定它假，就推出它真的一类命题。这类命题也可以表述为：一个命题A，A蕴涵非A，同时非A蕴涵A，A与自身的否定非A等值。”《辞海》中对“悖论”的定义则是：“一命题B，如果承认B，可推得﹁B；反之，如果承认﹁B，又可推得B，则称命题B为一悖论。”以研究悖论著称的张建军对“悖论”的理解是：悖论是从某种公认正确或暗中假定的背景知识（简称共识）中逻辑地推导出来的两个相互矛盾命题的等价式；构成一个悖论必须具备如下因素：（1）任一悖论都是相对于某些共识而言的。这些共识既可以是人们公认的明晰的知识，也可以是人们不自觉地确认的共同的直觉，或者是某个特定的理论体系。（2）任一悖论都是从某些共识合乎逻辑地推导出来的，悖论的产生不是源自于逻辑推导过程的错误。不需逻辑推导、一望而知的自相矛盾，只是一般的逻辑矛盾，不是悖论。（3）悖论表现为或可以表现为两个互相矛盾命题的等价式，即p↔﹁p。概而言之，“共识、逻辑推导和矛盾等价式，是构成悖论的三要素”。

我基本同意张建军关于悖论的上述看法，但对于把“悖论”限制于“两个互相矛盾命题的等价式”这一点有所保留，因为有不少悖论并不表现为这样的等价式，例如布拉里—弗蒂悖论、康托尔悖论、里查德悖论等，勉强把它们化归于这样的等价式也不太自然。我倾向于把上面第三种和第四种意义的“悖论”看作是真正的悖论，于是我所同意的“悖论”定义是：“如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式。那么，我们说这个理论包含一个悖论。”或者换一种更松散的说法：如果从看起来合理的前提出发，通过看似正确有效的逻辑推导，得出了两个自相矛盾的命题或这样两个命题的等价式，则称得出了悖论。这里的要点在于：推理的前提看似明显合理，推理过程看似合乎逻辑，推理的结果则是自相矛盾的命题或矛盾命题的等价式。