开根号乘以十（开方乘10 记考分）

张景中教授做客学者讲坛

一次，笔者与张景中先生感叹：“现在很多大学生平时用功不够，以致考试时分数普遍较低，不及格人数占很大的比例。这给任课老师带来麻烦，因为不少的大学都有成文或不成文的规定，不及格人数不能超过某个比例，否则该课程考试作废，任课老师除了重新出试卷考试之外，还得写检查反省。”

张先生表示现在大学教育确实让人担忧，他说：“以前我读书（在北京大学）和教书（在中国科技大学）的时候，也有类似的事情。不过不是因为学生学得不行，而是由于那时候的老师不出送分题，每一个题目都有一定难度，所以如果平时不用功的话，考试及格是很困难的。遇到这样的情况，一些老师则会采取开方乘10 的算分方法，减少不及格的人数。所谓开方乘10，就是将考试分数开方之后再乘10。不过，大学生们还是不希望老师用开方乘10 这种计分法，因为这说明考开方乘10 记分考试结果已经是惨不忍睹了。”

学生考试不及格，老师想办法加分，这种做法是对是错，笔者在此不想作什么评论。不过这种开方乘10 的算分方法，比起那种每人加多少分更有数学味一些。

如果设原来考试得分为x，那么开方乘10 后则为10 √x 。容易发现，原来考0 分和考100 的人分数保持不变，可谓是“不动点”；而原本要考60 分才能及格，现在只要考36 分就可以了。

假设一个人的考试分数是由从0 到100 随机取数的话，那么开方乘10 这种记分方法就将及格的几率从原来的40％提高到64％。但这个假设的前提是不成立的，因为现在考试的命题对难度有规定，一般都是要求基础题、中等题、难题的比例为6 ：3 ：1，也就是说大部分分数都是很容易得的，倘若还按照开方乘10 的算法，那么及格的几率远比64％高很多。一个人若连36 分都得不到，那也确实是无可救药了。

下面我们进行定量分析。

如果求函数10 √x − x的导数的零点，可得到x=25 ，也就是说原来得25 分的人加分最多，可以加25 分。但这个加25 分的人却不是最幸运的人，因为加分后仍然没有及格。幸运的人应该是原来得分在36 至59 之间的，因为开方乘10 使他们从原来的不及格变及格了，而最幸运的应该是得36 分的人，尽管他只加了24 分。

对0 和100 之间所有的x 的值，我们可以验证10√ x − x的二阶导数都恒小于0。也就是说开方乘10 这种记分方法除了两个极端（0 分和100 分）之外，其余的人都加了分。那么这应该是皆大欢喜啊，但实际操作起来，还得考虑一个因素，就是考试分数都是整数，没有小数。那么原来得分开方乘10 之后，还得进行一次四舍五入的操作。举例来说，甲如果考59 分，开方乘10后为76.81，四舍五入后为77 分；乙如果考60 分， 开方乘10 后为77.45，四舍五入后也为77 分；那么，一个原来及格了的人竟然和一个原本没有及格的人得一样多的分数。也许此时乙的心里会感到一些不平衡吧。

如果考试总分超过100 分，比如说是120 分， 那么公式则改为√（120x） 。原则就是端点不变，其余人或多或少都要加点分。

开方乘10 是谁最先创造的呢？有人说是钱学森先生。

钱先生担任中国科技大学力学系主任后，给科大首届力学系的学生的开卷考试只出了两道题，第一道概念题，占30 分；第二道题是真正的考验，题目是：“从地球上发射一枚火箭，绕过太阳再返回到地球上来，请列出方程求解。”这道题可把全班学生都难住了。你若平时只会死读书不会活运用，根本做不出来。考试从上午八点半开始，直到中午还没有一个人交卷，中间还晕倒两个学生被抬出去。钱老宣布说：“吃午饭吧，吃完接着考。”直到傍晚也做不出来，大家只好交卷。成绩出来，竟有95％的人不及格。于是钱先生便想出了开方乘10 的妙招，结果80％的人都及格了，皆大欢喜。

作者简介

彭翕成，现工作于武汉华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心。主要从事数学文化传播和数学教育技术的普及。发表论文百余篇，出版著作多部。